2. 考研
  3. 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： (1)A2； (2)A的特征值和特征向量； (3)A能否相似于对角阵，说明理由．

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： (1)A2； (2)A的特征值和特征向量； (3)A能否相似于对角阵，说明理由．

admin2019-03-21  96
问题 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：
    (1)A2；
    (2)A的特征值和特征向量；
    (3)A能否相似于对角阵，说明理由．
选项
答案(1)由A=αβT和αTβ=0，有 A2=AA=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)αβT=0，即A是幂零阵(A2=0)． (2)利用(1)A2=0的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=λξ． 两边左乘A，得 A2ξ=λAξ=λ2ξ． 因A2=0，所以λ2ξ=0，ξ≠0，故λ=0即矩阵A的全部特征值为0． (3)A不能相似于对角阵，因α≠0，β≠0，故A=αβT≠0，r(A)=r≠0(其实r(A)=1，为什么?)．从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n一r≠n个，故A不能对角化．
解析
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考研数学二

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