已知n维向量组α1，α2，…，αs(s≤n)线性无关，β是任意n维向量，证明向量组β，α1，α2，…，αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．

admin2020-09-25 81

问题已知n维向量组α₁，α₂，…，α_s(s≤n)线性无关，β是任意n维向量，证明向量组β，α₁，α₂，…，α_s中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．

选项

答案假设向量组β，α₁，α₂，…，α_s中有两个向量α_i和α_j(1≤i＜j≤5)可由其前面的向量线性表示： α_i=kβ+k₁α₁+…+k_i-1α_i-1， ① α_j=lβ+l₁α₁+…+l_j-1α_j-1， ② 下证k≠0．若k=0，则由①式可得α_i=k₁α₁+…+k_i-1α_i-1，从而可得α₁，…，α_i-1，α_i线性相关，所以α₁，…，α_i，…，α_s线性相关，矛盾，所以k≠0．因为k≠0，所以由①式得：[*] 代入②式可知α_j能由α₁，…，α_j-1线性表示，所以α₁，…，α_j-1，α_j线性相关，从而可得α₁，α₂，…，α_s线性相关，矛盾，所以向量组β，α₁，…，α_s中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．

解析

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考研数学三

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已知n维向量组α1，α2，…，αs(s≤n)线性无关，β是任意n维向量，证明向量组β，α1，α2，…，αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．

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