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已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组ax=β的通解．
已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组ax=β的通解．
admin
2019-12-26
47
问题
已知4阶方阵A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，其中α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，且α
2
，α
3
，α
4
线性无关，α
1
=2α
2
－α
3
．如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求线性方程组ax=β的通解．
选项
答案
【解法1】 由α
2
，α
3
，α
4
线性无关和α
1
=2α
2
－α
3
知矩阵A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量． 由α
1
－2α
2
+α
3
+0α
4
=0得[*]即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为[*]再由 [*] 知[*]为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是ax=β的通解为 [*] 【解法2】令[*]则由[*]得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
· 将α
1
=2α
2
－α
3
代入上式，整理后得 (2x
1
+x
2
－3)α
2
+(－x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
－1)α
4
=0． 由α
1
，α
3
，α
4
线性无关，知 [*] 解此方程组得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/fJD4777K
0
考研数学三
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