2. 考研
  3. 已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组ax=β的通解．

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组ax=β的通解．

admin2019-12-26  66
问题 已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组ax=β的通解．
选项
答案【解法1】 由α2，α3，α4线性无关和α1=2α2－α3知矩阵A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量． 由α1－2α2+α3+0α4=0得[*]即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为[*]再由 [*] 知[*]为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是ax=β的通解为 [*] 【解法2】令[*]则由[*]得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4· 将α1=2α2－α3代入上式，整理后得 (2x1+x2－3)α2+(－x1+x3)α3+(x4－1)α4=0． 由α1，α3，α4线性无关，知 [*] 解此方程组得 [*]
解析
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考研数学三

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