设f(x)是满足的连续函数，且当x→0时，∫0xf(t)dt是与xn同阶的无穷小量，求正整数n．

admin2017-08-28 74

问题设f(x)是满足

的连续函数，且当x→0时，∫₀^xf(t)dt是与xⁿ同阶的无穷小量，求正整数n．

选项

答案由[*]可知：[*]即当x→0时，f(x)是x²的同阶无穷小．对n>0，有[*] 由此可见，当n=3时，就有[*] 所以，n=3．

解析关于无穷小量的比较，有下面一般性的结论：
(1)当x→a时，若f(x)是g(x)的同阶无穷小，g(x)是h(x)的同阶无穷小，则当x→a时，f(x)也是h(x)的同阶无穷小．
(2)当x→a时，若连续函数f(x)是x－a的n阶无穷小，则∫_a^xf(t)dt必为(x－a)的n+1阶无穷小．
(3)当x→a时，g(x)是(x一)的n阶无穷小，当u→a时，f(u)是u的m阶无穷小，则f[g(x)]必是(x一a)的nm阶无穷小．

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