2. 考研
  3. 设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数，且f(x)≥0，f(0)=0，f"(x)＞0，D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}，证明：

设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数，且f(x)≥0，f(0)=0，f"(x)＞0，D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}，证明：

admin2021-12-14  62
问题 设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数，且f(x)≥0，f(0)=0，f"(x)＞0，D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}，证明：
选项
答案[*] 即证∫0axf(x)dx＞2/3a∫0af(x)dx，只要证∫0a(x-2/3a)f(x)dx＞0，令F(x)=∫0x(t-2/3x)f(t)dt，则F(0)=0，故只需证F(a)＞0，F’(x)=1/3xf(x)-2/3∫0xf(t)dt，F’(0)=0，F"(x)=1/3xf’(x)-1/3f(x)，F"(0)=0，F’"(x)=1/3xf"(x)≥0(因f"(x)＞0，x≥0)，故F"(x)单调增加，又F"(0)=0，F"(x)≥F"(0)=0，知F’(x)单调增加，又F’(0)=0，F’(x)≥F’(0)=0，所以F(x)单调增加，F(x)≥F(0)=0，当且仅当x=0时，等号成立，故F(a)＞0。
解析
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考研数学二

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