2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组Ax=[α1，α2，α3，α4]x=α5有通解 k[-1，2，0，3]T+[2，一3，1，5]T． (1)求方程组[α2，α3，α4]x=α5的通解； (2)求方程组[α1，α2，α3，α4，α4+α5]x=α5的

设非齐次线性方程组Ax=[α1，α2，α3，α4]x=α5有通解 k[-1，2，0，3]T+[2，一3，1，5]T． (1)求方程组[α2，α3，α4]x=α5的通解； (2)求方程组[α1，α2，α3，α4，α4+α5]x=α5的

admin2018-09-20  54
问题 设非齐次线性方程组Ax=[α1，α2，α3，α4]x=α5有通解
    k[-1，2，0，3]T+[2，一3，1，5]T．
    (1)求方程组[α2，α3，α4]x=α5的通解；
    (2)求方程组[α1，α2，α3，α4，α4+α5]x=α5的通解．
选项
答案(1)由题设，非齐次线性方程组 [α1，α2，α3，α4]x=α5 有通解k[一1，2，0，3]T+[2，一3，1，5]T，则 r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，α5)=3． 且由对应齐次方程组的通解知，一α1+2α2+3α4=0，即α1=2α2+3α4，故α2，α3，α4线性无关(若线性相关，则r(α1，α2，α3，α4)＜3，这和题设矛盾)．α2，α3，α4是α1，α2，α3，α4及α1，α2，α3，α4，α5的极大线性无关组，α1，α5均可由α2，α3，α4线性表示，从而r(α2，α3，α4)=r(α2，α3，α4，α5)=3． 方程组 [α2，α3，α4]x=α5 (*) 有唯一解．由题设条件，α5可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示法不唯一，可取k=2，使α5由α1，α2，α3，α4线性表示时，不出现α1，则得 α5=α2+α3+11α4，故方程组(*)的通解(唯一解)为x=[1，1，11]T． (2)对于非齐次线性方程组 [α1，α2，α3，α4，α4+α5]x=α5， (**) 因r(α1，α2，α3，α4，α4+α5)=r(α1，α2，α3，α4，α4+α5,α5)=3，故方程组(**)的通解的结构为 k1ξ1+k2ξ2+η. 因[α，α，α，α，α+α][*]=α5，故η1=[*] [α1，α2，α3，α4，α4+α5][*]=α5，故η2=[*] [α1，α2，α3，α4，α4+α5][*]=0，故ξ1=[*] 所以方程组(**)的通解为 k1ξ1+k2(η1一η2)+η2=[*] 其中k1，k2是任意常数．
解析
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考研数学三

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