求函数z=x2+2y2－x2y2在D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0}上的最小值与最大值．

admin2022-06-30 45

问题求函数z=x²+2y²－x²y²在D={(x，y)｜x²+y²≤4，y≥0}上的最小值与最大值．

选项

答案当(x，y)位于区域D内时， [*] 在L₁：y=0(－2≤x≤2)上，z=x²，由z’=2x=0得x=0， z(±2)=4，z(0)=0； [*] z=4 cos²t+8 sin²t－16 sin²t cos²t=4+4 sin²t－16 sin²t(1－sin²t) =4－12sin²t+16sin⁴t=16(sin²t－3/8)²+7/4，当sin²=1时，z的最大值为8；当sin²t=3/8时，z的最小值为7/4，故z的最小值为0，最大值为8．

解析

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