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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求： 矩阵A的特征值和特征向量．
设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求： 矩阵A的特征值和特征向量．
admin
2016-01-11
53
问题
设向量α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
都是非零向量，且满足条件α
T
β=0．记n阶矩阵A=αβ
T
，试求：
矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案
设λ为A的任一特征值，A的属于λ的特征向量为ξ，则Aξ=Aξ，于是A
2
ξ=λAξ=A
2
ξ由(1)知，A
2
=O，故有λ
2
ξ=0．因为特征向量ξ≠0，所以λ
2
=0，即λ=0，故矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β的分量a
1
≠0，b
1
≠0． 对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
，其中k
1
，k
2
，…，k
n-1
是不全为零的任意常数．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/ee34777K
0
考研数学二
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