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设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γex的一个解为y=e2x+(1+x)ex.试确定常数α,β,γ,并求出它的通解.
设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γex的一个解为y=e2x+(1+x)ex.试确定常数α,β,γ,并求出它的通解.
admin
2020-04-02
58
问题
设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γe
x
的一个解为y=e
2x
+(1+x)e
x
.试确定常数α,β,γ,并求出它的通解.
选项
答案
方法一 将y=e
2x
+(1+x)e
x
代入方程y"+αy′+βy=γe
x
,可得 (4+2α+β)e
2x
+(3+2α+β)e
x
+(1+α+β)xe
x
≡γe
x
于是 4+2α+β=0,3+2α+β=γ,1+α+β=0 解之得α=-3,β=2,γ=-1,所求通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+xe
x
. 方法二 由于方程的解中含有e
2x
,xe
x
,且有非齐次项ye
x
,从而2和1是对应齐次方程的两个特征根,故特征方程为(r-2)(r-1)=0,即r
2
一3r+2=0,从而α=-3,β=2,再将y
*
=xe
x
代入y"+αy′+βy=γe
x
可得γ=-1.其余步骤同方法一.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/edS4777K
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考研数学一
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