设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γex的一个解为y=e2x+(1+x)ex．试确定常数α，β，γ，并求出它的通解．

admin2020-04-02 57

问题设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γe^x的一个解为y=e^2x+(1+x)e^x．试确定常数α，β，γ，并求出它的通解．

选项

答案方法一将y=e^2x+(1+x)e^x代入方程y"+αy′+βy=γe^x，可得 (4+2α+β)e^2x+(3+2α+β)e^x+(1+α+β)xe^x≡γe^x 于是 4+2α+β=0，3+2α+β=γ，1+α+β=0 解之得α=－3，β=2，γ=－1，所求通解为y=C₁e^x+C₂e^2x+xe^x．方法二由于方程的解中含有e^2x，xe^x，且有非齐次项ye^x，从而2和1是对应齐次方程的两个特征根，故特征方程为(r－2)(r－1)=0，即r²一3r+2=0，从而α=－3，β=2，再将y^*=xe^x代入y"+αy′+βy=γe^x可得γ=－1．其余步骤同方法一．

解析

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考研数学一

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