(98年)齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB＝O，则【】

admin2021-01-25 54

问题 (98年)齐次线性方程组

的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB＝O，则【】

选项 A、λ＝－2且｜B｜＝0
B、λ＝－2且｜B｜≠0
C、λ＝1且｜B｜＝0
D、λ＝1且｜B｜≠0

答案C

解析设B按列分块为B＝[β₁ β₂ β₃]，则由题设条件，有
O＝AB＝[Aβ₁ Aβ₂ Aβ₃]
所以Aβ_j＝0(j＝1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Aχ＝0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Aχ＝0存在非零解，从而有

得λ＝1
另一方面，必有｜B｜＝0，否则｜B｜≠0，则B可逆，于是由给AB＝O两端右乘B^-1，得A＝O，这与A≠O矛盾，故必有｜B｜＝0．
因此C正确．

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