(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

admin2021-01-25 82

问题 (2008年)设f(x)是周期为2的连续函数．
(Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫_t^t+2f(x)dx=∫₀²f(x)dx；
(Ⅱ)证明G(x)=∫₀^x[2f(t)一∫_t^t+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

选项

答案(Ⅰ)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫_t^t+2f(x)dx=∫_t⁰f(x)dx+∫₀²f(x)dx+∫₂^t+2f(x)dx．令s=x一2，则有 ∫₂^t+2f(x)dx=∫₀^tf(s+2)ds=∫₀^tf(s)ds=一∫_t⁰f(x)dx 所以 ∫_t^t+2f(x)dx=∫_t⁰f(x)dx+∫₀²f(x)dx－∫_t⁰f(x)dx=∫₀²f(x)dx (Ⅱ)由于∫_t^t+2f(s)ds—∫₀²f(s)ds 记 ∫₀²f(s)ds=a 则 G(x)=2∫₀^xf(t)dt—ax 因为对任意的x， G(x+2)一G(x)=2∫₀^x+2f(t)dt—a(x+2)一2∫₀^xf(t)dt+ax =2∫_x^x+2f(t)dt一2a=2∫₀²f(t)dt一2a=0，所以，G(x)是周期为2的周期函数．

解析

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考研数学三

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(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

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