(Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值； (Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

admin2018-06-12 93

问题 (Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A²＋A＝0，B²＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值；
(Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

选项

答案(Ⅰ)因为(E＋A)A＝0，A≠0，知齐次方程组(E＋A)χ＝0有非零解，即行列式｜E＋A｜＝0，所以λ＝－1必是矩阵A的特征值．同理λ＝－1也必是矩阵B的特征值．类似地，由AB＝0，B≠0，知行列式｜A｜＝0，所以λ＝0必是矩阵A的特征值，同理λ＝0也必是矩阵B的特征值． (Ⅱ)对于Aα＝－α，用矩阵B左乘等式的两端有BAα＝－Bα，又因BA＝0，故 Bα＝0＝0α．即α是矩阵B属于特征值λ＝0的特征向量．那么，α与β是矩阵B的不同特征值的特征向量．因而α，β线性无关．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/eUg4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

(Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值； (Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

考研数学一

已知A＝，B是3阶非零矩阵，且BAT＝O，则a＝_______．

求线性方程组的通解，并求满足条件χ12＝χ22的所有解．

设α，β为3维列向量，矩阵A＝ααT＋ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．

设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明

设a1，a2，…，an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由它们线性表示，证明a1，a2，…，an线性无关．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足Aαi＝iαi，(i＝1，2，3)．记α＝α1＋α2＋α3．①证明α，Aα，A2α线性无关．②设P＝(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

设b＞a＞e，证明：ab＞ba．

求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

｜tanχ｜arctaneχdχ＝_______．

按其生糖和生酮的性质可将氨基酸分成几类?

某女，37岁，已婚。10年前曾患葡萄胎，无诱因开始阴道流血，持续2个月，量时多时少，诊断病理报告结果为：见滋养细胞增生活跃，未见绒毛结构。最可能的诊断是

A．骨筋膜室综合征B．感染C．休克D．畸形愈合E．股骨头坏死

女性，30岁。在颈丛麻醉下施行了甲状腺腺瘤切除术，手术顺利。术后病人出现饮水呛咳症状。最可能的原因是

患者，男性，26岁。1个月前出现进食后上腹部胀痛，夜间常痛醒，进食后可以缓解，今日进食后感上腹饱胀，频繁呕吐宿食。初步诊断为

计量的几何尺寸要以设计图纸为依据，监理工程师对承包商超出设计图纸要求增加的工程量和自身原因造成返工的工程量(　　)。

持有单位卡的信用卡用户可以向单位卡账户交存现金，但不能从单位卡账户中支取现金。(　　　)。

下列设备组中，完全属于外部设备的一组是()。

Whatdoesthemanwanttoorder?

Earlyanthropologists,followingthetheorythatwordsdeterminethought,believedthatlanguageanditsstructurewereentirel

(Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值； (Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

考研数学一

已知A＝，B是3阶非零矩阵，且BAT＝O，则a＝_______．

求线性方程组的通解，并求满足条件χ12＝χ22的所有解．

设α，β为3维列向量，矩阵A＝ααT＋ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．

设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明

设a1，a2，…，an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由它们线性表示，证明a1，a2，…，an线性无关．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足Aαi＝iαi，(i＝1，2，3)．记α＝α1＋α2＋α3．①证明α，Aα，A2α线性无关．②设P＝(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

设b＞a＞e，证明：ab＞ba．

求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

｜tanχ｜arctaneχdχ＝_______．

按其生糖和生酮的性质可将氨基酸分成几类?

某女，37岁，已婚。10年前曾患葡萄胎，无诱因开始阴道流血，持续2个月，量时多时少，诊断病理报告结果为：见滋养细胞增生活跃，未见绒毛结构。最可能的诊断是

A．骨筋膜室综合征B．感染C．休克D．畸形愈合E．股骨头坏死

女性，30岁。在颈丛麻醉下施行了甲状腺腺瘤切除术，手术顺利。术后病人出现饮水呛咳症状。最可能的原因是

患者，男性，26岁。1个月前出现进食后上腹部胀痛，夜间常痛醒，进食后可以缓解，今日进食后感上腹饱胀，频繁呕吐宿食。初步诊断为

计量的几何尺寸要以设计图纸为依据，监理工程师对承包商超出设计图纸要求增加的工程量和自身原因造成返工的工程量( )。

持有单位卡的信用卡用户可以向单位卡账户交存现金，但不能从单位卡账户中支取现金。( )。

下列设备组中，完全属于外部设备的一组是()。

Whatdoesthemanwanttoorder?

Earlyanthropologists,followingthetheorythatwordsdeterminethought,believedthatlanguageanditsstructurewereentirel

计量的几何尺寸要以设计图纸为依据，监理工程师对承包商超出设计图纸要求增加的工程量和自身原因造成返工的工程量(　　)。

持有单位卡的信用卡用户可以向单位卡账户交存现金，但不能从单位卡账户中支取现金。(　　　)。