设x1=1，n=1，2，…，证明当n→∞时，数列{xn}极限存在，并求其值．

admin2019-12-26 115

问题设x₁=1，

n=1，2，…，证明当n→∞时，数列{x_n}极限存在，并求其值．

选项

答案首先证明数列{x_n}是单调递增的． x₁＜x₂显然成立．假设x_k－1＜x_k成立，则有 [*] 即x_k＜x_k+1成立．由数学归纳法知，对任何正整数n，均有x_n＜x_n+1成立，从而数列{x_n}单调递增．又因为x_n＜2成立，即数列{x_n}有上界．根据单调有界原理便知数列{x_n}收敛．令[*]将[*]两边取极限得 l²=l+1．考虑到l＞0，解得[*] 因此 [*]

解析

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