2. 考研
  3. 已知A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，α1，α2，α3，α4是4维列向量，若方程组Ax一β的通解为k(1，2，3，0)T+(1，1，1，1)T，其中k为任意常数，又矩阵B=(α3，α2，α1，β一α4)，求方程组Bx=α1一α2的通解．

已知A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，α1，α2，α3，α4是4维列向量，若方程组Ax一β的通解为k(1，2，3，0)T+(1，1，1，1)T，其中k为任意常数，又矩阵B=(α3，α2，α1，β一α4)，求方程组Bx=α1一α2的通解．

admin2020-10-21  59
问题 已知A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，α1，α2，α3，α4是4维列向量，若方程组Ax一β的通解为k(1，2，3，0)T+(1，1，1，1)T，其中k为任意常数，又矩阵B=(α3，α2，α1，β一α4)，求方程组Bx=α1一α2的通解．
选项
答案由方程组Ax=β的通解为k(1，2，3，0)T+(1，1，1，1)T，得4一R(A)=1，即R(A)=3； 由此可知，α1，α2，α3线性相关，若R(α1，α2，α3)≤1，则R(α1，α2，α3，α4)=R(A)≤2，与R(A)=3矛盾．故R(α1，α2，α3)=2． 又B=(α3，α2，α1，β一α4)=(α3，α2，α1，α1｜α2+α3)，所以R(B)=R(B[*]α1—α2)=2，于是方程组Bx=α1—α2有解，且Bx=0有4—R(B)=2个线性无关的解向量． 由 [*] 知(3，2，1，0)T是Bx=0的解． 由 [*] 知(1，1，1，一1)T是Bx=0的解． 由 [*] 知(0，—1，1，0)T是Bx=α1—α2的一个解． 故方程组Bx=α1—α2的通解为 x=k1(3，2，1，0)T+k2(1，1，1，—1)T+(0，—1，1，0)T， 其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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