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  3. [2008年] 设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max(X，Y)的分布函数为( )．

[2008年] 设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max(X，Y)的分布函数为( )．

admin2019-04-15  56
问题 [2008年]  设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max(X，Y)的分布函数为(    )．
选项 A、F2(x)
B、F(x)F(y)
C、1－[1－F(x)]2
D、[1－F(x)][1－F(y)]
答案A
解析 解一  因X与Y同分布，故y的分布函数也是F(x)．由命题3．2．5．2(2)知，Fmax(x)=F(x)F(y)=F2(x)．仅(A)入选．
    解二  仅(A)入选．设Z的分布函数为FZ(x)，则
              FZ(x)=P(Z≤x)=P(max(X，Y)≤x)=P(X≤x，Y≤x)．
因X，Y独立同分布，故
              FZ(x)=P(X≤x)P(Y≤x)=F(x)F(x)=F2(x)．
    解三  仅(A)入选．因Z的分布函数为一元函数，而非二元函数，故不能选(B)、(D)．又因选项(C)为min(X，Y)的分布函数．事实上，有
    P(min(X，Y)≤x)=1－P(min(X，Y)＞x)=1－P(X＞x，Y＞x)=1－P(X＞x)P(Y＞x)
                   =1－[1－P(X≤x)][1－P(Y≤x)]=1－[1－F(x)][1一F(y)]
                   =1－[1－F(x)]2．
    注：命题3．2．5．2  (2)当X1，X2，…，Xn相互独立且有相同分布函数F(z)时，有    Fmax(z)=[F(z)]n，  Fmin(z)=1－[1－F(z)]n．
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考研数学三

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