2. 考研
  3. (2010年)(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限

(2010年)(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限

admin2021-01-25  105
问题 (2010年)(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)的大小，说明理由；
(Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限
选项
答案(I)令 f(t)=ln(1+t)一t。 当0≤t≤1时，[*]，故当0≤t≤1时，f(t)≤f(0)=0。即当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t≤1，从而 [ln(1+t)]n≤tn(n=1，2，…)。 又由|lnt|≥0得 ∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)。 (Ⅱ)由(I)知， 0≤un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤∫01tn|lnt|dt， 因为 [*]
解析
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考研数学三

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