若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P－1AP＝A．

admin2021-01-19 76

问题若矩阵

相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P^－1AP＝A．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*]＝(λ－6)²(λ＋2)，故A的特征值为λ₁＝λ₂＝6，λ₃＝－2．由于A相似于对角矩阵A，故对应λ₁＝λ₂＝6应有两个线性无关的特征向量，即3－r(6E—A)＝2，于是有r(6E—A)＝1．由[*]，知a＝0．于是对应于λ₁＝λ₂＝6的两个线性无关的特征向量可取为 [*] 当λ₃＝－2时， [*] 解方程组[*]得对应于λ₃＝－2的特征向量[*] 令[*]，则P可逆，并有P^－1AP＝A．

解析 [分析]已知A相似于对角矩阵，应先求出A的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a．至于求P，则是常识问题．
[评注]n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对任一k；重特征根λ_i，有
n－r(λ_iE—A)＝k_i．

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考研数学二

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[*]

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