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设α，β都是n维列向量时，证明 ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．
设α，β都是n维列向量时，证明 ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．
admin
2018-06-27
64
问题
设α，β都是n维列向量时，证明
①αβ
T
的特征值为0，0，…，0，β
T
α．
②如果α不是零向量，则α是αβ
T
的特征向量，特征值为β
T
α．
选项
答案
①方法一 用上例的结论．r(αβ
T
)≤1，因此αβ
T
的特征值为0，0，…，0，tr(αβ
T
)． 设α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
，则αβ
T
的对角线元素为a
1
b
1
，a
2
b
2
，…，a
n
b
n
，于是 tr(αβ
T
)=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=β
T
α． 方法二 记A=αβ
T
，则A
2
=αβ
T
αβ
T
=(β
T
α)A，于是根据定理5．2的推论，A的特征值都满足等式λ
2
=(β
T
α)A，即只可能是0和β
T
α． 如果β
T
α=0，则A的特征值都是0． 如果β
T
α≠0，则根据定理5．3的②，A的所有特征值之和为tr(A)=β
T
α，它们一定是n-1个为0，一个为β
T
α． ②仍记A=αβ
T
，则Aα=αβ
T
α=(β
T
α)α，因此则α是A的特征向量，特征值为β
T
α．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/e4k4777K
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考研数学二
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