2. 考研
  3. 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ’(x)=φ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解； (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ’(x)=φ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解； (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

admin2018-09-25  105
问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ’(x)=φ(x)，φ(0)=0．
    (1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解；
    (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．
选项
答案本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考试中的重点，请复习备考的学生重视． (1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e－∫sin xdx[∫φ(x)ecos xe∫sin xdxdx+C]=ecos x[∫φ(x)ecos x.e－cos xdx+C] =ecos x[∫φ(x)dx+C]=ecos x[Ф(x)+C](C为任意常数)． (2)因通解中cos x为2 π为周期的函数，故只需Ф(x+2π)=Ф(x)即可．因为Ф’(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1，又Ф((0)=0，于是Ф(x)=∫0xφ(t)dt．而 Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫02πφ(t)dt， 所以，当∫02πφ(t)dt，时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期． 因此，当∫02πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
解析
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考研数学一

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