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(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设求可逆矩阵D，使A=DTD．
(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设求可逆矩阵D，使A=DTD．
admin
2020-01-15
52
问题
(Ⅰ)设f(x
1
，x
2
，x
3
)一x
1
2
+2x
2
2
+6x
3
2
一2x
1
x
2
+2x
1
x
3
—6x
2
x
3
，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；
(Ⅱ)设
求可逆矩阵D，使A=D
T
D．
选项
答案
(1)将f(x
1
，x
2
，x
3
)用配方法化为标准形，得 f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+6x
2
3
一2x
1
x
2
+2x
1
x
3
一6x
2
x
3
一(x
1
－x
2
+x
3
)
2
+x
2
2
+5x
2
3
一4x
2
x
3
=(x
1
－x
2
+x
3
)
2
+(x
2
—2x
3
)
2
+x
2
3
． 得厂的标准形为f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
．[*] 所作的可逆线性变换为x=Cy，其中C=[*] A对应的二次型的规范形为y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
，正惯性指数P=3=r(A)，故知A是正定矩阵(也可用定 义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定矩阵)． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，[*]是f(x
1
，x
2
，x
3
)的对应矩阵，即 f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax． 令x=Cy，其中[*]，得f=x
T
Ax=y
T
C
T
ACy=y
T
Ey， 故C
T
AC=E，A=(C
－1
)
T
C
－1
=D
T
D，其中D=C
－1
． [*]
解析
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考研数学一
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