已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ2＋a2χ3)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?

admin2019-05-14 42

问题已知二次型f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝(χ₁＋a₁χ₂)²＋(χ₂＋a₂χ₃)²＋…＋(χ_n＋a_nχ₁)²．a₁，a₂，…，a_n满足什么条件时f(χ₁，χ₂，…，χ_n)正定?

选项

答案记y₁＝χ₁＋a₁χ₂，y₂＝χ₂＋a₂χ₃，…，y_n＝χ_n＋a_nχ₁，则 [*] 简记为Y＝AX．则f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝Y^TY＝X^TA^TAX．于是，实对称矩阵A^TA就是f(χ₁，χ₂，…，χ_n)的矩阵．从而f正定就是A_TA正定． A_TA正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜＝1＋(－1)^n-1a₁a₂…a_n．于是，f正定的充要条件为a₁a₂…a_n≠(－1)ⁿ．

解析

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考研数学一

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