首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA; (2)存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.
设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA; (2)存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.
admin
2020-03-10
111
问题
设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ
1
,λ
2
,λ
3
为A的三个不同的特征值,证明:
(1)AB=BA;
(2)存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP,P
-1
BP同时为对角矩阵.
选项
答案
(1)由AB=A—B得A—B—AB+E=E,(E一B)(E+A)=E, 即E—B与E+A互为逆矩阵,于是(E—B)(E+A)=E=(E+A)(E—B), 故AB=BA. (2)因为A有三个不同的特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
,所以A可以对角化,设A的三个线性无关的特征向量为ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,则有A(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)diag(λ
1
,λ
2
,λ
3
), BA(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=B(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)diag(λ
1
,λ
2
,λ
3
), AB(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=B(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)diag(λ
1
,λ
2
,λ
3
),于是有 ABξ
i
=λ
i
Bξ
i
,i=1,2,3. 若Bξ
i
≠0,则B
i
是A的属于特征值λ
i
的特征向量,又λ
i
为单根,所以有Bξ
i
=μ
i
ξ
i
; 若Bξ
i
=0,则ξ
i
是B的属于特征值0的特征向量.无论哪种情况,B都可以对角化,而且ξ
i
是B的特征向量,因此,令P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),则P
-1
AP,P
-1
卯同为对角阵.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/cfD4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+y2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则
设(X1,X2,X3)为来自总体X的简单随机样本,则下列不是统计量的是().
设f(x,y)连续,且,其中D是由y=0,y=x2,x=1所围区域,则f(x,y)=()
幂级数的收敛域为_____________________。
设区域D={(x,y)|x2+y2≤4,x≥0,y≥0},f(x)为D上的正值连续函数,a,b为常数,则dσ=()
设有平面闭区域,D={(x,y)|一a≤x≤a,x≤y≤a},D1={(x,y)|0≤x≤a,x≤y≤a},则(xy+cosxsiny)dxdy=()
设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=2X一1,则Y与Z的相关系数为_________。
已知齐次线性方程组同解,求a,b,c的值。
给出满足下列条件的微分方程:方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解
设f(x,y)与φ(y)均是二次可微函数.若z=f(x,y),其中y=y(x)是由方程x=y+φ(y)所确定,求
随机试题
如何观察心脏钟向转位?转位的病因是什么?
试述清代弹词的女性文学特征。
FBS关于癌前病变的术语为
全科医疗健康档案与其他专科病历中的相似之处在于
下列关于人体试验知情同意的叙述,错误的是
A、丙酸睾酮B、苯丙酸诺龙C、炔诺酮D、醋酸氢化可的松E、醋酸地塞米松19-去甲孕甾烷类化合物为()。
工程竣工验收之前,承包人和发包人应签订房屋建筑工程质量保修书,其中工程质量保修的()。
下列选项属于负强化例子的是()。
产业结构失调
A、In1992.B、In2000.C、In2004.D、In1972.D
最新回复
(
0
)