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n维向量α1，α2，…，α3，线性无关的充要条件是( )．
n维向量α1，α2，…，α3，线性无关的充要条件是( )．
admin
2021-05-21
89
问题
n维向量α
1
，α
2
，…，α
3
，线性无关的充要条件是( )．
选项
A、存在不全为0的k
1
，k
2
，…，k
s
，使后k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
≠O．
B、添加向量β后，α
1
，α
2
，…，α
s
，β线性无关．
C、去掉任一向量α
i
后，α
i
，…，α
i-1
α
i+1
……，α
s
线性无关．
D、α
1
，α
2
一α
1
，α
3
一α
1
…，α
3
一α
1
线性无关．
答案
D
解析
若向培组中有非零向量，必有不全为0的数k
1
，k
2
，…，k
s
，使k
1
α
1
+k
2
a
2
+…+k
s
a
s
，≠0，但α
1
，α
2
，…，α
s
，不一定线性无关，故不能选A,B仅是充分条件，并不是必要条件．例如一组基是线性无关的，此时已不存在β，在添加β仍能保证向量组线性无关．C只是必要条件，并不是充分条件,一个向量组线性无关，那么其任何一个部分组都是线性无关的．由于初等变换不改变向量组的秩，D相当于对α
1
，α
2
，…，α
s
为列的矩阵作初等变换所得的结果．可见r(α
1
，α
2
，…，a
s
)=r(α
1
，α
2
一α
1
一α
s
一α
1
)，因此r(α
1
，α
2
，…，α
1
)=s
r(α
1
，α
2
一α
1
，…，α
s
一α
1
)=s．故选D.
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考研数学三
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