2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)＝，其中k﹥1。证明： 存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)＝成立。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)＝，其中k﹥1。证明： 存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)＝成立。

admin2019-12-06  44
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)＝，其中k﹥1。证明：
存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)＝成立。
选项
答案令g(y)＝k∫0yxe1－xf(x)dx，则g(0)＝0，g(1/k)＝f(1)，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，1/k)，使得 [*]， 故kf(1)＝kηe1－ηf(η)，即f(1)＝ηe1－ηf(η)。 再令φ(x)＝xe1－xf(x)，则φ(0)＝0，φ(1)＝f(1)，所以φ(1)＝f(1)＝φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)＝0，即 [*]， 所以f’(ξ)＝[*]。
解析
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考研数学二

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