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(2009年试题,三(20))设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线,当一π
(2009年试题,三(20))设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线,当一π
admin
2013-12-18
95
问题
(2009年试题,三(20))设y=y(x)是区间(一π,π)内过点
的光滑曲线,当一π
’’+y+x=0,求y(x)的表达式.
选项
答案
由题意,当一π
2=一x
2
+C.又[*][*]代入y
2
=一x
2
+C中,得C=π
2
,从而有y
2
=一x
2
+π
2
.又y=y(x)是区间(一π,π)内过点[*]的光滑曲线,故[*]当0≤x<π时,y
’’
+y=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx.设y
’’
+y+x=0的特解为y
*
=Ax+B,代入方程得(A+1)x+B=0,则A=一1,B=0,即特解为y
’
=一x.故可知,微分方程y
’’
+y+x=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx—x.因为y=y(x)是区间(一π,π)内的光滑曲线,故其在x=0处连续且可导,且[*]所以根据y(0
-
)=y(0
+
)可得C
1
=π;根据y
-
’
=(0)=y
+
’
(0)可得C
2
=1综上可知,y(x)的表达式为[*]
解析
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考研数学二
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