2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0f(x)tsin2t/(sint+cost)dt，求f(π/2)。

设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0f(x)tsin2t/(sint+cost)dt，求f(π/2)。

admin2021-12-14  52
问题 设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0f(x)tsin2t/(sint+cost)dt，求f(π/2)。
选项
答案已知等式两边同时对x求导，得g[f(x)]f’(x)=xsin3x/(sinx+cosx)，又由g[f(x)]=x，可知当x≠0时，有f’(x)=sin3x/(sinx+cosx)，故f(π/2)=f(0)+∫0π/2sin3x/(sinx+cosx)dx=∫0π/2sin3x/(sinx+cosx)dx，又由于∫0π/2sin3x/(sinx+cosx)dx→∫0π/2cos3t/(sint+cost)dt=∫0π/2cos3x/(sinx+cosx)dx，故f(π/2)=∫0π/2sin3x/(sinx+cosx)dx=1/2∫0π/2(sin3x+cos3x)/(sinx+cosx)dx=1/2∫0π/2(sin2x-sinxcosx+cos2x)dx=1/2∫0π/2(1-sinxcosx)dx=1/2(π/2-1/2sin2x∫0π/2)=(π-1)/4。
解析
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考研数学二

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