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  3. 求函数u=在约束条件下的最大值与最小值．

求函数u=在约束条件下的最大值与最小值．

admin2019-06-06  109
问题 求函数u=在约束条件下的最大值与最小值．
选项
答案求函数u=[*]在约束条件[*]下的最大值与最小值，等价于求函数v=x2+y2+z2在同样的约束条件下的最大值与最小值．令 F(x，y，z，μ，λ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2－z)+μ(x+y+z－4)， 由[*]=0得 2x+2λx+μ=0， ① 2y+2λy+μ=0， ② 2z－λ+μ=0， ③ x2+y2－z=0， ④ x+y+z－4=0． ⑤ 解得(λ+1)(x－y)=0．若λ=－1，可得μ=0，z=－[*]，与④式矛盾．故只能推得x=y．再由④、⑤两式，得(x1，y1，z1)=(1，1，2)或(x2，y2，z2)=(－2，－2，8)． 由约束条件x2+y2－z=0及x+y+z－4=0可见，(x，y，z)只能在有限范围内变动，可见u=[*]在此范围内必存在最小值与最大值．所以 minu=[*]
解析
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考研数学二

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