2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)﹤0，试证明：

设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)﹤0，试证明：

admin2019-12-06  78
问题 设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)﹤0，试证明：
选项
答案先证右边，令 F(x)＝∫axf(t)dt－f([*])(x－a)，x∈[a，b], F’(x)＝f(x)－[*]。 由拉格朗日中值定理可得 [*]， 则F’(x)＝[*]，由于f’(x)单调递减以及[*]，可知[*]，即F’(x)﹤0。则F(b)﹤F(0)＝0， 即∫abf(t)dt－f([*])(b－a)﹤0，整理可得 [*]。 再证左边，令G(x)＝[*]，则 [*]。 再由拉格朗日中值定理可知f(x)－f(a)＝(x－a)f’(ζ)，ζ∈(a，x)，从而 [*] 则G(b)﹤G(a)＝0，即 [*]， 整理可得[*]。
解析
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考研数学二

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