设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

admin2019-02-23 75

问题设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁一S₂恒为1，求曲线y=y(x)的方程。

选项

答案设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为 Y一y=y’(X—x)，它与x轴的交点为[*] 由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是 [*] 又可得 S₂=∫₀^xy(t)dt。根据题设2S₁一S₂=1，有 [*]一∫₀^xy(t)dt=1，并且y’(0)=1，两边对x求导并化简得 yy’’=(y’)²，这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y’，则上述方程可化为 [*] 分离变量得[*] 从而有 y=C₂e^C₁x。根据y’(0)=1，y(0)=1，可得C₁=1，C₂=1。故所求曲线的方程为y=e^x。

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Paj4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

考研数学二

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：存在ξ∈(1，2)，使得

设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使f’’(ξ)=f(ξ)．

设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可以相似对角化．

设z=yf(x2-y2)，其中f可导，证明：

求极限

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T都是A属于λ＝6的特征向量，求矩阵A．

求极限：χn，其中χn＝．

设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，在点χ＝0处可导，且f(0)＝0，令(Ⅰ)试求A的值，使F(χ)在(－∞，＋∞)上连续；(Ⅱ)求F′(χ)并讨论其连续性．

设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且求函数ψ(t)。

丙型肝炎的主要传播途径是

发生疫情后，对疫点、疫区应有计划有目的地及时开展病原检索工作。采集的检验标本包括下列哪一类

肝硬化腹水的常见病因有

下列关于工程项目目标应满足条件说法正确的是()。

职业道德是指在一定职业活动中应遵循的、体现一定职业特征的、调整一定职业关系的职业行为准则和规范。()

外科手术刀，不锈钢制

下列各项中，属于会计基本要素的有()。

根据我国《民法通则》的规定，属于可撤销的民事行为的是()。

由于第一期项目没有取得预期效果。乡长想要对蔬菜大棚种植的可行性进行调查，你作为乡长助理，请提出建议以帮助乡长更好地完成调查。