2. 考研
  3. 设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明： (1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数． (2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：

设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明： (1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数． (2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：

admin2019-07-22  109
问题 设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：
    (1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．
    (2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：
    (i)∈[0，1]，f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1—λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]；

    (iv)f(x)为(a，b)上的连续函数．
选项
答案(1)对[*]x，x0∈[a，b]，有 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+[*](x-x0)2 ＞f(x0)+f’(x0)(x—x0)，在上式中分别取x=x1，x=x2，[*]得到 [*] 上述两式相加即得证． (2)先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，分别取x=x1，x=x2，x0=λx1+(1一λ)x2，得到 f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1—x2)， ① f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1)． ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x1)+(1-λ)f(x2)≥f(x0)=f(λx1+(1一λ)x2)， 得证[*] 再证(iv)．[*]∈[a，b]，设G为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得 x1=x2=…=xm=x+nδ，xm+1=…=xn=x．由(ii)知 [*] 令δ→0，则n→∞，故有f(x+δ)一f(x)→0，从而证明了f(x)的连续性．
解析
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考研数学二

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