2. 考研
  3. 设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在。证明： (1)存在ξ∈(1，2)，使得． (2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ一1)f’(η)ln2．

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在。证明： (1)存在ξ∈(1，2)，使得． (2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ一1)f’(η)ln2．

admin2020-03-10  49
问题 设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在。证明：
(1)存在ξ∈(1，2)，使得．
(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ一1)f’(η)ln2．
选项
答案(1)令h(x)＝lnx，F(x)＝∫1xf(t)dt，且F’(x)＝f(x)≠0， 由柯西中值定理，存在ξ∈(1,2)，使得[*] (2)由[*]得f(1)＝0， 由拉格朗日中值定理得f(ξ)＝f(ξ)－f(1)＝f’(η)(ξ－1)，其中1＜η＜ξ， 故∫12f(t)dt＝ξ(ξ－1)f’(η)ln2．
解析
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考研数学三

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