2. 考研
  3. 设u0＝0，u1＝1，un+1＝aun＋bun-1，n＝1，2，…，其中a，b为实常数，又设f(χ)＝ (Ⅰ)试导出f(χ)满足的微分方程； (Ⅱ)证明：f(χ)＝－eaχf(－χ)．

设u0＝0，u1＝1，un+1＝aun＋bun-1，n＝1，2，…，其中a，b为实常数，又设f(χ)＝ (Ⅰ)试导出f(χ)满足的微分方程； (Ⅱ)证明：f(χ)＝－eaχf(－χ)．

admin2020-03-05  37
问题 设u0＝0，u1＝1，un+1＝aun＋bun-1，n＝1，2，…，其中a，b为实常数，又设f(χ)＝
    (Ⅰ)试导出f(χ)满足的微分方程；
    (Ⅱ)证明：f(χ)＝－eaχf(－χ)．
选项
答案(Ⅰ)由于f(χ)＝[*]为幂级数，故在其收敛区间内可逐项求导： [*] 又u0＝1，u1＝1，un+1＝aun＋bun-1，n：1，2，…，因此 [*] 由此可得f(χ)满足的微分方程 f〞(χ)－af′(χ)－bf(χ)＝0． (Ⅱ)由f(0)＝0，f′(0)＝1，可知f(χ)是初值问题的唯一解． [*] 设f1(χ)＝－eaχf(－χ)，则 f′1(χ)＝－aeaχf(－χ)＋eaχy′(－χ)， f〞1(χ)＝－a2eaχf(－χ)＋aeaχf′(－χ)＋aeaχf′(－χ)－eaχf〞(－χ)， 于是f〞1(χ)－af′1(χ)＝aeaχf′(－χ)－eaχf〞(－χ)＝－eaχ[f〞(－χ)－af′(－χ)] ＝－beaχf(－χ)＝bf1(χ)． 因此f〞1(χ)－af′1－bf1(χ)＝0且f1(χ)＝0，f′1(0)＝1．可知f1(χ)也是初值问题(*)的解，由于解唯一，故有 f(χ)＝f1(χ)＝－eaχf(－χ)．
解析
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考研数学一

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