设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

admin2016-10-20 72

问题设α，β为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

选项

答案1°(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤r(α)+r(β)．又α，β均为3维列向量，则．r(α)≤l，r(β)≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)当α，β线性相关时，不妨设α=ka，则 r(A)=r(αα^T+k²αα^T)=r[(1+k²)αα^T]=r(αα^T)≤r(α)≤1＜2． 2°(Ⅰ)因为α，β均为3维列向量，故存在非零列向量X与α，β均正交，即 α^Tx=0，β^Tx=0．从而 αα^Tx=0， ββ^Tx=0，进而(αα^T+ββ^T)x=0．即齐次方程组Ax=0有非0解，故r(A)≤2． (Ⅱ)因为齐次方程组α^Tx=0有2个线性无关的解，设为η₁，η₂，那么 α_Tη₁=0， α_Tη₂=0．若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 β_Tη₁=(kα)_Tη₁=kα_Tη₁=0， β_Tη₂=(kα)_Tη₂=kα_Tη₂=0．于是 Aη₁=(αα^T+ββ^T)η₁=0， Aη₂=(αα^T+ββ^T)η₂=0，即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n-r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/aeT4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

考研数学三

设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

设向量α=α1+α2+…+αs(s>1)，而β1=α-α1，β2=α-α2，…，βs=α-αs，则()．

设α1，α2，…，αs是一组n维向量，则下列结论中，正确的是()．

若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

设函数z＝f(x，-y)在点P(x，y)处可微，从x轴正向到向量l的转角为θ，从x轴的正向到向量m的转角为θ＋π／2，求证：

将函数f(x)＝e2x，x∈[0，π]展开成余弦级数．

代数学基本定理告诉我们，n次多项式至多有n个实根，利用此结论及罗尔定理，不求出函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数，说明方程fˊ(x)＝0有几个实根，并指出它们所在的区间．

求下列曲线所围成的图形的面积：

设有一物质曲线Γ，在点(x，y，z)处它的线密度为μ(x，y，z)，用第一类曲线积分分别表示：(1)该物质曲线关于x轴与y轴的转动惯量；(2)该物质曲线对位于线外点Mo(xo，yo，zo)处的单位质点的引力．

PASSAGETHREEWhatistheconclusionofthewholepassage?

患者男，4个月。家长发现其出生后左眼溢泪，无分泌物。检查发现左侧泪道冲洗时有阻力，冲洗液全部反流，无吞咽动作，余未见异常。下面治疗方法中不正确的是

下列有关高分子溶液剂的表述错误的是

集合资产管理计划说明书应当清晰地说明集合资产管理计划的()等内容。Ⅰ．产品特点Ⅱ．盈利预期Ⅲ．投资方向Ⅳ．风险提示

营销人员的能力要求一般不包括()。

命令周期指的是()。

第一次将礼中的“服制”列入律典中，作为定罪量刑原则的法律是()。

求极限．