在右半平面内向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi－x2(x4+y)λj是二元函数u(x，y)的梯度，试求参数λ及u(x，y)．

admin2020-05-02 34

问题在右半平面内向量A(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λi－x²(x⁴+y)^λj是二元函数u(x，y)的梯度，试求参数λ及u(x，y)．

选项

答案因为A(x，y)是函数u(x，y)的梯度，所以 [*] 则 [*] 显然[*]均在右半平面内，皆为二元初等函数，从而[*]在右半平面内连续，故[*]即 2x(x⁴+y²)^λ+4λxy²(x⁴+y²)^λ－1≡－2x(x⁴+y²)^λ－4λx⁵(x⁴+y²)^λ－1 化简，得4x(x⁴+y²)^λ(λ+1)≡，解得λ=－1．由[*]得 [*] 从而 [*] 结合[*]得φ(y)=0，则φ(y)=C．于是，[*]

解析

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