设f(x)是连续函数. (1)求初值问题的解，其中a＞0； (2)若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k/a(eax-1).

admin2022-08-19 82

问题设f(x)是连续函数.
(1)求初值问题

的解，其中a＞0；
(2)若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k/a(e^ax-1).

选项

答案(1) y′+ay=f(x)的通解为y=[∫₀^xf(t)e^atdt+C]e^-ax，由y(0)=0得C=0，所以y=e^-ax∫₀^xf(t)e^atdt. (2)当x≥0时，|y|=e^-ax|∫₀^xf(t)e^atdt|≤e^-ax∫₀^x|f(t)|e^atdt≤ke^-ax∫₀^xe^atdt =(k/a)e^-ax(e^ax-1)≤k/a(e^ax-1).

解析

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考研数学三

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