设α1,α2,β1,β2为三维列向量组，且α1,α2与β1,β2都线性无关。证明：至少存在一个非零向量可同时由α1,α2和β1,β2线性表示。

admin2021-11-25 74

问题设α₁,α₂,β₁,β₂为三维列向量组，且α₁,α₂与β₁,β₂都线性无关。
证明：至少存在一个非零向量可同时由α₁,α₂和β₁,β₂线性表示。

选项

答案因为α₁,α₂,β₁,β₂线性相关，所以存在不全为零的常数k₁,k₂,l₁,l₂，使得 k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0 或k₁α₁+k₂α₂=－l₁β₁－l₂β₂ 令γ=k₁α₁+k₂α₂=－l₁β₁－l₂β₂，因为α₁,α₂与β₁,β₂都线性无关，所以k₁,k₂,l₁,l₂都不全为零，所以γ≠0.

解析

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考研数学二

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