2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1＝α2，A2α1＝α3，A3α1＝－α1． (Ⅰ)证明矩阵A+2E可逆，并求(A+2E)-1； (Ⅱ)如果α1＝(1，0，－1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(－1，1，1)T，求

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1＝α2，A2α1＝α3，A3α1＝－α1． (Ⅰ)证明矩阵A+2E可逆，并求(A+2E)-1； (Ⅱ)如果α1＝(1，0，－1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(－1，1，1)T，求

admin2020-10-30  30
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1＝α2，A2α1＝α3，A3α1＝－α1．
  (Ⅰ)证明矩阵A+2E可逆，并求(A+2E)-1；
  (Ⅱ)如果α1＝(1，0，－1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(－1，1，1)T，求矩阵A．
选项
答案(Ⅰ)由已知条件知 A3α1＝－α1， A3α2＝A4α1＝A(A3α1)＝－Aα1)＝－α2)， A3α3＝A5α1＝A2(A3α1)＝－A2α1＝－α3，则A3(α1，α2，α3)＝(A3α1，A3α2，A3α3)＝－(α1，α2，α3)，记B＝(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，则矩阵B可逆，于是A3B＝－B，等式两端右乘B－1，得A3＝－E，故A3＋8E＝7E，即[*] 于是A｜2E可逆，且(A＋2E)－1＝[*] (Ⅱ)由已知条件知Aα1＝α2，Aα2＝A2α1＝α3，Aα3＝A3α1＝－α1，从而有A(α1，α2，α3)＝(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α2，α3，－α1)，即[*] 故[*]
解析
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考研数学三

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