2. 考研
  3. 设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1)=1／3，P{Y=1}=2／3，记Z=XY· 求Z的概率密度fz(z)．

设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1)=1／3，P{Y=1}=2／3，记Z=XY· 求Z的概率密度fz(z)．

admin2022-05-20  85
问题 设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1)=1／3，P{Y=1}=2／3，记Z=XY·
求Z的概率密度fz(z)．
选项
答案先求Z的分布函数FZ(z)．由于 FZ(z)=P{XY≤z)=P{XY≤z，Y=-1}+P{XY≤z，Y=1} =P{X≥-z，Y=-1}+P{X≤z，Y=1} =P{X≥-z}P{Y=-1}+P{X≤z)P{Y=1} =1/3[1-FX(-z)]+2/3FX(z)， 其中FX(x)是X的分布函数，故 fZ(z)=F’Z(z)=1/3fX(-z)+2/3fX(z)． 由题知 [*] 当z≤0时，-z≥0，fx(-z)=λeλz，fX(z)=0． 当z＞0时，-z＜0，fX(z)=λe-λz，fX(-z)=0． 综上可得 [*]
解析
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考研数学三

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