设f(x)在区间[0，+∞)内二阶可导，且在x=1处与曲线y=x3一3相切，f(x)在(0，+∞)内与曲线y=x3一3有相同的凹向，求方程f(x)=0在(1，+∞)内实根的个数．

admin2019-02-26 76

问题设f(x)在区间[0，+∞)内二阶可导，且在x=1处与曲线y=x³一3相切，f(x)在(0，+∞)内与曲线y=x³一3有相同的凹向，求方程f(x)=0在(1，+∞)内实根的个数．

选项

答案由y’=3x²， y’(1)=3，及曲线y=f(x)与y=x³一3相切可知，f’(1)=3， f(1)=y(1)=一2．由曲线y=f(x)与y=x³一3在(0，+∞)内有相同的凹向，以及y’’=6x>0，可知， f’’(x)>0，x∈(0，+∞)．由台劳公式 [*] 即存在M＞0，当x₀＞M时，使得f(x₀)＞0．于是，f(x)在[1，x₀]上连续，且f(1)=－2<0，f(x₀)>0．由零值定理，在(1，x₀)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0．由f’’(x)>0,x∈(0，+∞)，可知在(0，+∞)内f’(x)单调增加．再由f’(x)＞f’(0)=0，知f(x)在(0，+∞)内单调增加，故f(x)=0在(0，+∞)内仅有一个根．

解析由f(x)二阶可导及台劳公式可得f(x)的解析式，然后用零值定理．
若f⁽ⁿ⁾(x)>0，x∈(a，b)，则f^(n－1)(x)在(a，b)内单调增加．

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