2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB=C，如果秩r(A)=n，证明秩r(B)=r(C)．

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB=C，如果秩r(A)=n，证明秩r(B)=r(C)．

admin2017-06-08  56
问题 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB=C，如果秩r(A)=n，证明秩r(B)=r(C)．
选项
答案对齐次方程组(Ⅰ)ABx=0， (Ⅱ)Bx=0， 如α是(Ⅱ)的解，有Bα=0，那么ABα=0，于是α是(Ⅰ)的解． 如α是(Ⅰ)的解，有ABα=0，因为A是m×n矩阵，秩r(A)=n，所以Ax=0只有零解，从而Bα=0．于是α是(Ⅱ)的解． 因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．那么s－r(AB)=s－r(B)，即r(AB)=r(B)． 所以r(B)=r(C)．
解析
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考研数学二

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