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  3. 设随机变量X1，…Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1-p，记：

设随机变量X1，…Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1-p，记：

admin2019-01-23  19
问题 设随机变量X1，…Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1-p，记：
选项
答案EYi=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，Xi+1=1)+P(Xi=1，Xi+1=0)=2p(1-p)，i=1，…，n[*]=2np(1-p)，而E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1-p)，∴DYi=E(Y22)-(EYi)2=2p(1-p)[1-2p(1-p)]，i=1，2，…，n．若l-k≥2，则Yk与Yl独立，这时cov(Yk，Yl)=0，而E(YkYk+1)=P(Yk=1，Yk+1=1)=P(Xk+Xk+1=1，Xk+1+Xk+2=1)=P(Xk=0，Xk+1=1，Xk+2=0)+P(Xk=1，Xk+1=0，Xk+2=1)=(1-p)2p+p2(1-p)=p(1-p)，∴cov(Yk，Yk+1)=E(YkYk+1)-EYk．EYk+1=p(1-p)-4p2(1-p)2，故[*]=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+[*]cov(Yk，Yk+1)=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+2(n-1)[p(1-p)-4p2(1-p)2]=2p(1-p)[2n-6np(1-p)+4p(1-p)-1]．
解析
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考研数学一

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