设f(χ)连续，证明：∫0χ[∫0tf(u)du]dt＝∫0χf(t)(χ－t)dt．

admin2017-09-15 54

问题设f(χ)连续，证明：∫₀^χ[∫₀^tf(u)du]dt＝∫₀^χf(t)(χ－t)dt．

选项

答案令F(χ)＝∫₀^χf(t)dt，则F′(χ)＝f(χ)，于是∫₀^χ[∫₀^tf(u)du]dt＝∫₀^χF(t)dt， ∫₀^χf(t)(χ－t)dt＝χ∫₀^χf(t)dt－∫₀^χtf(t)dt＝χF(χ)－∫₀^χtdF(t) ＝χF(χ)－tF(t)｜₀^χ＋∫₀^χF(t)dt＝∫₀^χF(t)dt．命题得证．

解析

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