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  3. [2003年]设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(－∞，+∞)内满足以下条件：f/(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2x． 求F(x)所满足的一阶微分方程；

[2003年]设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(－∞，+∞)内满足以下条件：f/(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2x． 求F(x)所满足的一阶微分方程；

admin2019-03-30  102
问题 [2003年]设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(－∞，+∞)内满足以下条件：f/(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2x．
求F(x)所满足的一阶微分方程；
选项
答案解一 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2－2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)． 可见，F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e2x． 解二 由给定条件分别求出f(x)与g(x)的表示式，然后求出F(x)=f(x)g(x)的表示式，进一步再求出F’(x)的表示式，最后找出F(x)与F’(x)的表示式的关系． 由f’(x)=g(x)，f(x)+g(x)=2ex，得到f(x)+f’(x)=22x，解之得 [*] 由f(0)=0得到c=－1．因此f(x)=e－x(e2x+C)=ex－e－x，于是g(x)=f’(x) ex+e－x，则 F(x)=f(x)g(x)=(ex－e－x)(ex+e－x)=e2x－e－2x， F’(x)=2e2x+2e－2x． 由观察可看出F’(x)+2F(x)=2e2x+2e－2x+2e2x－2e－2x=4e2x．此即所求的F(x)所满足的一阶微分方程．
解析
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考研数学三

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