设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。（Ⅰ）计算并化简PQ；（Ⅱ）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α2A—1α≠b。

admin2017-12-29 81

问题设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A^*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。
（Ⅰ）计算并化简PQ；
（Ⅱ）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α²A^—1α≠b。

选项

答案（Ⅰ）由AA^*=A^*A=|A|E及A^*=|A|A^—1有 [*] （Ⅱ）由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 [*] =|A|²（b一α^TA^—1α）。因为矩阵A可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|（b一α^TA^—1α）。由此可知，Q可逆的充分必要条件是b—α^TA^—1α≠0，即α^TA^—1α≠b。

解析

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考研数学三

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