2. 考研
  3. (2003试题，十)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0；l2：bx+2cy+3a=0；l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

(2003试题，十)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0；l2：bx+2cy+3a=0；l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2019-03-07  75
问题 (2003试题，十)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0；l2：bx+2cy+3a=0；l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案根据题设，三条直线交于一点等价于方程组[*]有唯一解．显然方程组的系数矩阵为[*]相应的增广矩阵为[*]必要性由于方程组解唯一，因此必有rA=[*]=2。从而[*]=0，即[*]=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]=0因为已由题设知三条直线不同，因此a，b，c不全同，因而[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]≠0只有a+b+c=0从而必要性成立．充分性由(a+b+c)=0，有[*]，从而[*]．由于[*]和A中共有的子块[*]的行列式为[*]所以[*]且rA=2，因此原方程组有唯一解，即充分性也成立．解析二必要性，设三条直线相交于一点(x0,y0)，则[*]为Ax=0的非零解，其中[*]从而得｜A｜=0，即[*]又依题知(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，故有a+b+c=0充分性，线性方程组[*]中的三个等式相加，且由a+b+c=0可得，方程组①等价于[*]又[*]=2(ac一b2)=一2[a(a+b)+b2]=一[a2+b2+(a+b)2]≠0则知方程组②有唯一解，即方程组①也有唯一解，表明三条直线l1，l2和l3交于一点．
解析
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考研数学一

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