2. 考研
  3. 设矩阵，已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求： (1)a的值． (2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

设矩阵，已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求： (1)a的值． (2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2020-09-25  83
问题 设矩阵，已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：
  (1)a的值．
  (2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．
选项
答案(1)因为解不唯一，因此R(A，β)=R(A)＜3，因此先化简增广矩阵． [*] 因此，我们得到[*]解得a=一2． (2)由(1)知|λE一A|=[*]=λ(λ一3)(λ+3)， 因此A的特征值为λ1=0，λ2=3，λ3=一3． ①当λ1=0时，一Ax=0同解于[*]解得特征向量α1=(1，1，1)T． ②当λ2=3时，(3E—A)x=0同解于[*]得特征向量α2=(一1，0，1)T． ③当λ3=一3时，(一3E—A)x=0同解于[*]得特征向量α3=(1，一2，1)T． 把α1，α2，α3单位化，得到[*] 令Q=(β1，β2，β3)=[*]即得到QTAQ=Q-1AQ=A=[*]
解析
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考研数学三

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