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  3. 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有( )

设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有( )

admin2016-05-09  58
问题 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有(    )
选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．
答案A
解析 如果α是(Ⅰ)的解，有Aα＝0，可得
    ATAα＝AT(Aα)＝AT0＝0，
    即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解．
    反之，若α是(Ⅱ)，的解，有ATAα＝0，用αT左乘可得
    αT(ATAα)＝(αTAT)(Aα)＝(Aα)T(Aα)＝αT0＝0，
    若设Aα＝(b1，b2，…，bn)，那么
    (Aα)T(Aα)＝b12＋b＋22…＋bn2＝0bi＝0(i＝1，2，…，n)
    即Aα＝0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A．
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考研数学一

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