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已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．
已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．
admin
2020-09-25
64
问题
已知β可以被向量α
1
，α
2
，…，α
r
线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关．
选项
答案
充分性[*]：假设β有两种表示法 β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
， ① β=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
r
α
r
， ② 则k
1
，k
2
，…，k
r
与l
1
，l
2
，…，l
r
中至少有一个i使k
i
≠l
i
(1≤i≤r)，①一②得 (k
1
一l
1
)α
1
+(k
2
一l
2
)α
2
+…+(k
r
一l
r
)α
r
=0． 由于存在i，使k
i
≠l
i
，即k
i
一l
i
≠0，所以k
1
一l
1
，k
2
一l
2
，…，k
r
一l
r
为不全为零的数，从而可得α
1
，α
2
，…，α
r
线性相关，矛盾，所以β的表示法唯一． 必要性[*]：假设α
1
，α
2
，…，α
r
线性相关，则存在一组不全为零的数l
1
，l
2
，…，l
r
(不妨设l
k
≠0)，使l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
k
α
k
+…+l
r
α
r
=0． ③ 若β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
， ④ 则③+④得β=(k
1
+l
1
)α
1
+(k
2
+l
2
)α
2
+…+(k
k
+l
k
)α
k
+…+(k
r
+l
r
)α
r
， ⑤ 由于l
k
≠0，则k
k
+l
k
≠k
k
，从而可知④与⑤是β的两种不同的表示法，矛盾．所以α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/XJx4777K
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考研数学三
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