2. 考研
  3. 设f(x)∈c[a，b]，在(a，b)内二阶可导． 若f(A)=f(B)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f’’(η)=f(η)．

设f(x)∈c[a，b]，在(a，b)内二阶可导． 若f(A)=f(B)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f’’(η)=f(η)．

admin2017-03-02  51
问题 设f(x)∈c[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
若f(A)=f(B)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f’’(η)=f(η)．
选项
答案令F(x)=∫axf(t)dt，因为F(A)=F(B)=0，所以由罗尔定理．存在c∈(a，b)，使得F’(C)=0，即f(C)=0．令h(x)=exf(x)，由h(A)=h(C)=h(B)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0．再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)c(a，b)，使得G’(η)=0，而G’(x)=e-x[f’’(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f’’(η)=f(η)．
解析
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考研数学三

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