2. 考研
  3. 设线性方程组已知(1，一1，1，一1)T是该方程组的一个解． 试求： (1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．

设线性方程组已知(1，一1，1，一1)T是该方程组的一个解． 试求： (1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．

admin2018-11-11  98
问题 设线性方程组已知(1，一1，1，一1)T是该方程组的一个解．
试求：
(1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
(2)该方程组满足x2=x3的全部解．
选项
答案将(1，一1，1，一1)T代入方程组的第一个方程，得λ=μ，对方程组的增广矩阵B施以初等行变换，得[*]于是r(A)=r(B)=3＜4，故方程组有无穷多解，全部解为ξ=(1，一1，1，一1)T+k(一2，1，一1，2)T，其中后为任意常数． [*]于是r(A)=r(B)=2＜4，故方程组有无穷多解，全部解为ξ=(1，一1，1，一1)T+k1(1，一3，1，0)T+k2(一1，一2，0，2)T，其中k1，k2为任意常数． (2)当[*]时，由于x2=x3，即一1+k=1一k，解得k=1，故方程组的解为ξ=(1，一1，1，一1)T+(一2，1，一1，2)T=(一1，0，0，1)T． 当[*]时，由于x2=x3，即一1一3k1一2k2=1+k1，解得k2=一2k1一1，故方程组的全部解为ξ=(2，1，1，一3)T+k1(3，1，1，一4)T，其中k1为任意常数．
解析 本题主要考查齐次、非齐次线性方程组的求解问题．将(1，一1，1，一1)T代入方程组，求出参数λ与μ的关系，于是化简为只具有一个参数的线性方程组的求解问题，用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形，然后对参数进行讨论，求出全部解．
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考研数学二

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